对于电动车驾驶员没有驾驶证撞伤小孩的情况，首先，这增加了驾驶员的违法性。根据《中华人民共和国道路交通安全法》第十九条规定，驾驶机动车应当依法取得机动车驾驶证。电动车若被认定为机动车，则无驾驶证驾驶属于违法行为。在此情况下，虽然无证驾驶不是判定事故责任的唯一因素，但会作为重要考量。结合事故现场勘查、证据收集等，交警会出具道路交通事故责任认定书，判定双方责任。若对认定书不服，可依法申请复核或提起行政诉讼。
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若小孩在道路上玩耍时被电动车撞伤，责任划分需考虑双方过错。一方面，电动车驾驶员应确保安全驾驶，遵守交通规则；另一方面，小孩及其监护人应意识到道路危险，避免在道路上玩耍。具体解决方案：1. 若电动车驾驶员无过错，小孩及其监护人承担主要责任；2. 若电动车驾驶员存在超速、酒驾等违法行为，则应承担更重责任；3. 双方均有过错时，根据过错程度划分责任。
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从法律角度，电动车撞伤小孩后，驾驶员应承担以下法律责任：1. 侵权责任，包括赔偿医疗费用、护理费用、精神损失费等；2. 若构成交通肇事罪，还需承担刑事责任；3. 行政处罚，如无证驾驶、酒驾等违法行为，将受到交警部门的行政处罚。驾驶员应积极配合调查，依法承担责任。